ВЕКТОРЫ НОРМАЛИ ЗЕМНОГО РЕЛЬЕФА

Известна настоятельная потребность и активная разработка средств реалистичного отображение рельефа земной поверхности для нужд симуляции окружающей обстановки в процессе подготовки операторов для решения различных задач инженерных изысканий. С этой целью привлекаются инженерные исследования, основывающиеся на ряде фундаментальных естественно-научных проблем, из которых выделим «восполнение 3-х мерной поверхности по частичной картографической/визуальной информации», задаваемой различными моделями, например, полевые методы аппроксимации матрицы высот цифрового изображения рельефа по линиям-горизонталям и масштабируемая модель рельефа. Идеология полевого подхода может быть проиллюстрирована на линейном расположении металлических опилок на листе плотной бумаги, отражающих структуру магнитного поля, когда снизу подводятся одноименные магниты. Аналогию источников масштабируемой модели рельефа обнаруживаем в феерии мыльных пузырей, демонстрируемых в виде шоу. Построение линий равного удаления от фиксированного объекта может быть выполнено путем итеративного последовательного построения очередных линий расположенных на некотором удалении от данной.

Скажем расстояние от точки до какого-то объекта - это нижняя граница расстояний, которая реально означает, что при итеративном процессе построения первая же точка удовлетворяющая условию является искомой. Если согласно данной метрике от точек данного объекта построены все точки, отстоящие на данное расстояние, то легко показать, что других таких точек просто нет. Согласно алгоритму разметки точки, помеченные на некотором шаге, в дальнейшем исключаются из рассмотрения, что исключает зацикливание процесса разметки изображения. Очевидным следствием, является наличие у каждой помеченной точки соседней точки с расстоянием меньшим на единицу. Будем называть такую разметку - полем объекта. Если имеются два непересекающихся связных объекта, то, рассмотрев соответствующие им поля можно отметить следующий факт: "когда точки объекта находятся на поле другого объекта, то существуют точки, равноотстоящие от обоих

объектов". Операция выделения таких точек может проводиться в вертикальном процессировании за один условный такт, путем покомпонентного сравнения двух полей с выделением равных значений полей в соответствующих позициях. Естественно рассматривать геометрическое место таких точек как разделяющий объект. При этом можно говорить о вложенных объектах, если разделяющий объект конечной длины и раздельных,

если разделяющий объект бесконечен, либо больше самих объектов. Иначе говоря, строя метрику изображения мы можем опираться не только на чисто аналитические характеристики функций, описывающих границы объектов, но и конкретно конструктивным образом использовать понятие метрики изображения. При этом, разумеется, дискретность рассматриваемых объектов влечет за собой необходимость обоснования переноса свойств, справедливых в бесконечной дифференциальной геометрии, на клеточную геометрию.

С точки зрения практического применения предлагаемого подхода для инженерных изысканий можно рассмотреть в качестве объектов линии горизонталей, например, поверхности земли. Разделяющий объект, может быть рассмотрен как аппроксимация средней горизонтали. Точность построения аппроксимации задается величиной дискретизации изображения. При достаточно детальной дискретизации возможно строить поля с разным шагом разметки. Это равносильно массовому умножению значений поля на множитель шага разметки. При наличии двух полей с разношаговой разметкой поиск

равноудаленных точек должен проводиться с помощью интервального сравнения двух полей. Схема вычисления следующая: на первом шаге строим разность двух полей - вычитанием значений одного поля из другого; на втором шаге выделяем точки, в которых абсолютные отклонения меньше заданного допуска. Полученное геометрическое место точек образует

аппроксимацию горизонтали в отстоящую от исходных горизонталей в пропорции задаваемой шагом разметки. Варьируя значение пропорции в интервале от 0 до 1 получаем аппроксимирующие горизонтали гладко восстанавливающие исследуемую поверхность.

Рассмотрим сетку, построенную методом «дихотомии», когда на первом шаге строятся горизонтали первого уровня, расположенные между соседними «географическими» горизонталями, с заданными высотами. На следующем шаге строятся горизонтали, расположенные посередине между уже имеющимися горизонталями. Обсудим критерии остановки процесса.

Утверждается, что между любыми соседними замкнутыми вложенными горизонталями существует средняя горизонталь. У каждой точки средней горизонтали имеются ближайшие равноудаленные точки, принадлежащие исходным горизонталям. Если таких точек несколько, то процесс построения средних может быть продолжен. Гарантией сходимости процесса построения сеток горизонталей является предположение о непрерывности поверхности рельефа.

Таким образом, если у домысливаемой средней горизонтали имеются только единственные равноудаленные точки на опорных горизонталях, то четырехугольник из вершин соседствующих парам «ближайших» точек на «домысливаемой» срединной горизонтали рассматривается покрывающим фрагментом поверхности рельефа. Учитывая, что эти точки не планарны, то есть не лежат в одной плоскости, то выбирая на четырех треугольных плоскостях их векторы нормалей, и усредняя их, мы аппроксимируем ими поле нормалей.

© П. А. Ким